Деление дробей - как делить дроби 🤔

Понятие дроби

Дробь — одна из форм представления числа в математике. Это запись, в которой a и b являются числами или выражениями. Существует два формата записи:

  • обыкновенный вид — 1/2 или a/b,
  • десятичный вид — 0,5.

Над чертой принято писать делимое, которое является числителем, а под чертой всегда находится делитель, который называют знаменателем. Черта между числителем и знаменателем означает деление. В 5 классе ребята это уже знают.состав дроби

Дроби бывают двух видов:

  1. Числовые — состоят из чисел, например, 5/9 или (1,5 - 0,2)/15.
  2. Алгебраические — состоят из переменных, например, (x + y)/(x - y). В этом случае значение дроби зависит от данных значений букв.

Дробь называют правильной, когда ее числитель меньше знаменателя. Например, 3/7 и 31/45.

Неправильной — ту, у которой числитель больше знаменателя или равен ему. Например, 21/4. Такое число является смешанным и читается, как пять целых одна четвертая, а записывается — 5 1\4.

Основные свойства дроби

1. Дробь не имеет значения, при условии, если делитель равен нулю.

2. Дробь равняется нулю в том случае, если числитель равен нулю, а знаменатель отличен от нуля.

3. Две дроби a/b и c/d называются равными, если a * d = b * c.

4. Если числитель и знаменатель умножить или разделить на одно и то же натуральное число, то получится равная ей дробь.

Деление дробных чисел

Деление — арифметическое действие, по которому можно узнать, сколько раз одно число содержится в другом. А еще деление — это обратное действие умножения.

Свойства деления:

1. При делении на единицу получится такое же число:

2. На ноль делить нельзя.

3. Когда делим ноль на любое число, всегда получаем ноль:

4. Когда делим любое число на само себя получаем единичку:

5. Когда делим сумму на какое-либо число, можно разделить на него каждое слагаемое, а потом сложить полученное:

  • (a + b) : c = a : c + b : c.

6. Когда делим разность на какое-нибудь число, можно разделить на него уменьшаемое и вычитаемое отдельно и из первого частного вычесть второе:

  • (a - b) : c = a : c - b : c.

7. Когда делим произведение двух множителей на число, можно разделить на него любой из множителей и частное умножить на второй множитель:

  • (a * b) : c = (a : c) · b = a * (b : c).

Деление обыкновенных дробей

Как делить дробь на дробь? Выполняем следующую последовательность действий:

  • числитель первой умножить на знаменатель второй, результат произведения записать в числитель новой дроби;
  • знаменатель первой умножить на числитель второй, результат произведения записать в знаменатель новой дроби.

Другими словами это правило звучит так: чтобы разделить одну дробь на другую, надо первую умножить на обратную от второй.пример деления одной дроби на другую

Как делить дроби с разными знаменателями? Тут все просто: пользуемся правилами выше, поскольку на практике нам неважно, одинаковые знаменатели или нет.

Деление дроби на натуральное число

Для деления дроби на натуральное число нужно:

  • представить данный делитель в виде неправильной дроби, где числитель равен этому числу, а знаменатель единица;
  • произвести деление по предыдущему правилу.деление дроби на число

Деление натурального числа на дробь

Чтобы поделить натуральное число на обыкновенную дробь нужно:

  • знаменатель делителя умножить на число;
  • числитель делителя записать в знаменатель.Деление натурального числа на дробь

Деление на смешанное число

Для деления смешанных чисел необходимо:

  • представить числа в виде неправильных дробей
  • разделить то, что получилось друг на друга.деление смешанных чисел

Если урок в самом разгаре и посчитать нужно быстро — можно воспользоваться онлайн-калькулятором. Вот несколько подходящих:

Приходите практиковаться в детскую школу Skysmart. Наши преподаватели понятно объяснят что угодно — от дробей до синусов — и ответят на вопросы, которые бывает неловко задать перед всем классом. А еще помогут догнать сверстников и справиться со сложной контрольной.

Вместо скучных параграфов ребенка ждут интерактивные упражнения с мгновенной автоматической проверкой и онлайн-доска, где можно рисовать и чертить вместе с преподавателем.

Разберем, как разделить число на дробь, в теории и на конкретных примерах.

Чтобы разделить число на дробь, нужно:

1) данное число умножить на число, обратное дроби (то есть число умножаем на перевернутую дробь);

2) чтобы умножить число на дробь, надо числитель умножить на это число, а знаменатель оставить прежним.

Примеры.

Разделить число  на дробь:

\[1)12:\frac{6}{7} = 12 \cdot \frac{7}{6} = \frac{{\mathop {12}\limits^2  \cdot 7}}{{\mathop 6\limits_1 }} = \frac{{2 \cdot 7}}{1} = 14.\]

Чтобы разделить число на дробь, это число надо умножить на число, обратное данной дроби (то есть дробь переворачиваем — числитель и знаменатель меняем местами).

Сокращаем 12 и 6 на 6. В знаменателе получили единицу, поэтому ответ — целое число.

\[2)2:\frac{{10}}{{11}} = 2 \cdot \frac{{11}}{{10}} = \frac{{\mathop 2\limits^1  \cdot 11}}{{\mathop {10}\limits_5 }} = \frac{{1 \cdot 11}}{5} = \]

\[ = \frac{{11}}{5} = 2\frac{1}{5}.\]

При делении числа на дробь число переписываем и умножаем на дробь, обратную данной. Сокращаем 2 и 10 на 2.

Поскольку получили неправильную дробь, необходимо выделить из нее целую часть. 

\[3)14:\frac{{21}}{{25}} = 14 \cdot \frac{{25}}{{21}} = \frac{{\mathop {14}\limits^2  \cdot 25}}{{\mathop {21}\limits_3 }} = \]

\[ = \frac{{2 \cdot 25}}{3} = \frac{{50}}{3} = 16\frac{2}{3}.\]

Чтобы разделить число на дробь, делимое умножаем на число, обратное делителю. Сокращаем 14 и 21 на 7. Из полученной неправильной дроби выделяем целую часть.

Деление целого числа на дробь

Если дана обыкновенная дробь, то деление выполняется следующим образом:

1) Находим дробь, обратную данной ("переворачиваем" её).

Например, 5/6 имеет обратную дробь 6/5, 2/3 имеет обратную дробь 3/2 и т.п.

2) Умножаем число на полученную дробь.

При умножении числитель дроби умножается на целое число, а знаменатель остаётся тем же.

Примеры:

1) 6 : (2/3) = 6 * (3/2) = 18/2 = 9.

2) 10 : (5/4) = 10 * (4/5) = 8.

_

Если дана десятичная дробь, то её можно сначала представить в виде обыкновенной дроби, а затем выполнить деление по правилу, которое было приведено выше.

Примеры:

1) 5 : 0,2 = 5 : (2/10) = 5 * (10/2) = 25.

2) 12 : 0,6 = 12 : (6/10) = 12 * (10/6) = 20.

Следующее действие, которое можно выполнять с дробями это деление. Выполнять деление дробей достаточно просто главное знать несколько правил деления. Разберем правила деления и рассмотрим решение примеров на данную тему.

Деление дроби на дробь.

Чтобы делить дробь на дробь, нужно дробь, которая является делителем перевернуть, то есть получить обратную дробь делителю и потом выполнить умножение дробей.

\(\bf \frac{a}{b} \div \frac{c}{d} = \frac{a}{b} \times \frac{d}{c}\\\)

Пример:

Выполните деление обыкновенных дробей  .

Деление дроби на дробь

Деление дроби на число.

Чтобы разделить дробь на число, нужно знаменатель дроби умножить на число.

\(\bf \frac{a}{b} \div n = \frac{a}{b} \div \frac{n}{1} = \frac{a}{b} \times \frac{1}{n}\\\)

Рассмотрим пример:

Выполните деления дроби на натуральное число \(\frac{4}{7} \div 3\).

Как мы уже знаем, что любое число можно представить в виде дроби \(3 = \frac{3}{1} \).

\(\frac{4}{7} \div 3 = \frac{4}{7} \div \frac{3}{1} = \frac{4}{7} \times \frac{1}{3} = \frac{4 \times 1}{7 \times 3} = \frac{4}{21}\\\)

Деление числа на дробь.

Чтобы поделить число на дробь, нужно знаменатель делителя умножить на число, а числитель делителя записать в знаменатель. То есть дробь делитель перевернуть.

Рассмотрим пример:

Выполните деление числа на дробь.

Деление числа на дробь

Деление смешанных дробей.

Перед тем как приступить к делению смешанных дробей, их нужно перевести в неправильную дробь, а дальше выполнить деление по правилу деления дроби на дробь.

Пример:

Выполните деление смешанных дробей.

\(2\frac{3}{4} \div 3\frac{1}{6} = \frac{11}{4} \div \color{red} {\frac{19}{6}} = \frac{11}{4} \times \color{red} {\frac{6}{19}} = \frac{11 \times 6}{4 \times 19} = \frac{11 \times \color{red} {2} \times 3}{2 \times \color{red} {2} \times 19} = \frac{33}{38}\\\)

Деление числа на число.

Чтобы поделить простые числа, нужно представить их в виде дроби  и выполнить деление по правилам деления дроби на дробь.

Пример:

\(2 \div 5 = \frac{2}{1} \div \color{red} {\frac{5}{1}} = \frac{2}{1} \times \color{red} {\frac{1}{5}} = \frac{2 \times 1}{1 \times 5} = \frac{2}{5}\\\)

Примечание к теме деление дробей:На нуль делить нельзя.

Вопросы по теме:Как делить дроби? Как разделить дробь на дробь?Ответ: дроби делятся так, первую дробь делимое умножаем на дробь обратную дроби делителя.

Как делить дроби с разными знаменателями?Ответ: не важно одинаковые или разные знаменатели у дробей, все дроби делятся по правилу деления дроби на дробь.

Пример №1:Выполните деление и назовите делитель, дробь, обратную делителю: а) \(\frac{5}{9} \div \frac{8}{13}\) б) \(2\frac{4}{5} \div 1\frac{7}{8}\)

Решение:а) \(\frac{5}{9} \div \frac{8}{13} = \frac{5}{9} \times \frac{13}{8} = \frac{65}{72}\\\\\)

\( \frac{8}{13}\) – делитель, \( \frac{13}{8}\) – обратная дробь делителя.

б) \(2\frac{4}{5} \div 1\frac{7}{8} = \frac{14}{5} \div \frac{15}{8} = \frac{14}{5} \times \frac{8}{15} = \frac{14 \times 8}{5 \times 15} = \frac{112}{75} = 1\frac{37}{75}\\\\\)

\( \frac{15}{8}\) – делитель, \( \frac{8}{15}\) – обратная дробь делителя.

Пример №2:Вычислите деление: а) \(5 \div 1\frac{1}{4}\) б) \(9\frac{2}{3} \div 8\)

Решение:

а) \(5 \div 1\frac{1}{4} = \frac{5}{1} \div \frac{5}{4} = \frac{5}{1} \times \frac{4}{5} = \frac{\color{red} {5} \times 4}{1 \times \color{red} {5}} = \frac{4}{1} = 4 \\\\\)

б) \(9\frac{2}{3} \div 8 = \frac{29}{3} \div \frac{8}{1} = \frac{29}{3} \times \frac{1}{8} = \frac{29 \times 1}{3 \times 8} = \frac{29}{24} = 1\frac{5}{24}\\\\\)

Деление дробей - как делить дроби 🤔

Добавить комментарий