Косинус

Примеры:

\(\cos{⁡30^°}=\)\(\frac{\sqrt{3}}{2}\) \(\cos⁡\)\(\frac{π}{3}\)\(=\)\(\frac{1}{2}\) \(\cos⁡2=-0,416…\)

Содержание:

Аргумент и значение

аргумент и значение косинуса

Косинус острого угла

Косинус острого угла можно определить с помощью прямоугольного треугольника - он равен отношению прилежащего катета к гипотенузе.

Пример:

1) Пусть дан угол и нужно определить косинус этого угла.

угол

2) Достроим на этом угле любой прямоугольный треугольник.

нужно найти отношение прилежащего катета на гипотенузу

3) Измерив, нужные стороны, можем вычислить косинус.

косинус - это отношение прилежащего катета на гипотенузу

Косинус острого угла больше \(0\) и меньше \(1\)

Если при решении задачи косинус острого угла получился больше 1 или отрицательным, то значит где-то в решении есть ошибка.

Косинус числа

Числовая окружность позволяет определить косинус любого числа, но обычно находят косинус чисел как-то связанных с Пи: \(\frac{π}{2}\), \(\frac{3π}{4}\), \(-2π\).

Например, для числа \(\frac{π}{6}\) - косинус будет равен \(\frac{\sqrt{3}}{2}\). А для числа \(-\)\(\frac{3π}{4}\) он будет равен \(-\)\(\frac{\sqrt{2}}{2}\) (приблизительно \(-0,71\)).

как определить косинус числа

Косинус для других часто встречающихся в практике чисел смотри в тригонометрической таблице.

Значение косинуса всегда лежит в пределах от \(-1\) до \(1\). При этом вычислен косинус может быть для абсолютно любого угла и числа.

Косинус любого угла

Благодаря числовой окружности можно определять косинус не только острого угла, но и тупого, отрицательного, и даже большего, чем \(360°\) (полный оборот). Как это делать - проще один раз увидеть, чем \(100\) раз услышать, поэтому смотрите картинку.

как определить косинус тупого угла

Теперь пояснение: пусть нужно определить косинус угла КОА с градусной мерой в \(150°\). Совмещаем точку О с центром окружности, а сторону ОК – с осью \(x\). После этого откладываем \(150°\) против часовой стрелки. Тогда ордината точки А покажет нам косинус этого угла.

Если же нас интересует угол с градусной мерой, например, в \(-60°\) (угол КОВ), делаем также, но \(60°\) откладываем по часовой стрелке.

как определить косинус отрицательного угла

И, наконец, угол больше \(360°\) (угол КОС) - всё аналогично тупому, только пройдя по часовой стрелке полный оборот, отправляемся на второй круг и «добираем нехватку градусов». Конкретно в нашем случае угол \(405°\) отложен как \(360° + 45°\).

как определить косинус угла больше 360 градусов

Несложно догадаться, что для откладывания угла, например, в \(960°\), надо сделать уже два оборота (\(360°+360°+240°\)), а для угла в \(2640°\) - целых семь.

Стоит запомнить, что:

Косинус прямого угла равен нулю. Косинус тупого угла - отрицателен.

Знаки косинуса по четвертям

С помощью оси косинусов (то есть, оси абсцисс, выделенной на рисунке красным цветом) легко определить знаки косинусов по четвертям числовой (тригонометрической) окружности:

- там, где значения на оси от \(0\) до \(1\), косинус будет иметь знак плюс (I и IV четверти – зеленая область), - там, где значения на оси от \(0\) до \(-1\), косинус будет иметь знак минус (II и III  четверти – фиолетовая область).

знаки косинуса в разных четвертях

Пример. Определите знак \(\cos 1\).Решение: Найдем \(1\) на тригонометрическом круге. Будем отталкиваться от того, что \(π=3,14\). Значит единица, примерно, в три раза ближе к нулю (точке «старта»).

1 на числовой окружности

Если провести перпендикуляр к оси косинусов, то станет очевидно, что \(\cos⁡1\) – положителен. Ответ: плюс.

Связь с другими тригонометрическими функциями:

синусом

 того же угла (или числа): основным тригонометрическим тождеством \(\sin^2⁡x+\cos^2⁡x=1\)

тангенсом

 того же угла (или числа): формулой \(1+tg^2⁡x=\)

\(\frac{1}{\cos^2⁡x}\)

котангенсом

 и синусом того же угла (или числа): формулой \(ctgx=\)

\(\frac{\cos{x}}{\sin⁡x}\)

Другие наиболее часто применяемые формулы смотри 

здесь

.

Функция \(y=\cos{x}\)

Если отложить по оси \(x\) углы в радианах, а по оси \(y\) - соответствующие этим углам значения косинуса, мы получим следующий график:

косинусоида

График данной функции называется косинусоида и обладает следующими свойствами:

      - область определения – любое значение икса:   \(D(\cos{⁡x} )=R\)       - область значений – от \(-1\) до \(1\) включительно:    \(E(\cos{x} )=[-1;1]\)       - четная:   \(\cos⁡(-x)=\cos{x}\)       - периодическая с периодом \(2π\):   \(\cos⁡(x+2π)=\cos{x}\)       - точки пересечения с осями координат:              ось абсцисс:   \((\)\(\frac{π}{2}\)\(+πn\),\(;0)\), где \(n ϵ Z\)              ось ординат:   \((0;1)\)       - промежутки знакопостоянства:              функция положительна на интервалах:   \((-\)\(\frac{π}{2}\)\(+2πn;\) \(\frac{π}{2}\)\(+2πn)\), где \(n ϵ Z\)              функция отрицательна на интервалах:   \((\)\(\frac{π}{2}\)\(+2πn;\)\(\frac{3π}{2}\)\(+2πn)\), где \(n ϵ Z\)       - промежутки возрастания и убывания:              функция возрастает на интервалах:    \((π+2πn;2π+2πn)\), где \(n ϵ Z\)              функция убывает на интервалах:    \((2πn;π+2πn)\), где \(n ϵ Z\)        - максимумы и минимумы функции:              функция имеет максимальное значение \(y=1\) в точках \(x=2πn\), где \(n ϵ Z\)              функция имеет минимальное значение \(y=-1\) в точках \(x=π+2πn\), где \(n ϵ Z\).

Смотрите также:

СинусТангенсКотангенсРешение уравнения \(\cos⁡x=a\)

Скачать статью

Косинус угла. Таблица косинусов.

Косинус угла через градусы, минуты и секунды

Косинус угла через десятичную запись угла

Как найти угол зная косинус этого угла

У косинуса есть обратная тригонометрическая функция - arccos(y)=x

cos(arccos(y))=y

Пример cos(60°) = 1/2; arccos(1/2) = 60°

Рассчитать арккосинус

Определение косинуса

Косинусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего катета к гипотенузе.

Косинусом угла α называется абсцисса точки B единичной окружности, полученной при повороте точки P(1;0) на угол α.

Косинус острого угла

cos(α) = AC/AB

cos(-α) = cos(α)

cos(α ± 2π) = cos(α)

Таблица косинусов в радианах

cos(0°) = 1cos(π/12) = cos(15°) = 0.9659258263cos(π/6) = cos(30°) = 0.8660254038cos(π/4) = cos(45°) = 0.7071067812cos(π/3) = cos(60°) = 0.5cos(5π/12) = cos(75°) = 0.2588190451cos(π/2) = cos(90°) = 0cos(7π/12) = cos(105°) = -0.2588190451cos(2π/3) = cos(120°) = -0.5cos(3π/4) = cos(135°) = -0.7071067812cos(5π/6) = cos(150°) = -0.8660254038cos(11π/12) = cos(165°) = -0.9659258263cos(π) = cos(180°) = -1cos(13π/12) = cos(195°) = -0.9659258263cos(7π/6) = cos(210°) = -0.8660254038cos(5π/4) = cos(225°) = -0.7071067812cos(4π/3) = cos(240°) = -0.5cos(17π/12) = cos(255°) = -0.2588190451cos(3π/2) = cos(270°) = 0cos(19π/12) = cos(285°) = 0.2588190451cos(5π/3) = cos(300°) = 0.5cos(7π/4) = cos(315°) = 0.7071067812cos(11π/6) = cos(330°) = 0.8660254038cos(23π/12) = cos(345°) = 0.9659258263

Таблица Брадиса косинусы

cos(0) = 1cos(120) = -0.5cos(240) = -0.5
cos(1) = 0.9998476952cos(121) = -0.5150380749cos(241) = -0.4848096202
cos(2) = 0.999390827cos(122) = -0.5299192642cos(242) = -0.4694715628
cos(3) = 0.9986295348cos(123) = -0.544639035cos(243) = -0.4539904997
cos(4) = 0.9975640503cos(124) = -0.5591929035cos(244) = -0.4383711468
cos(5) = 0.9961946981cos(125) = -0.5735764364cos(245) = -0.4226182617
cos(6) = 0.9945218954cos(126) = -0.5877852523cos(246) = -0.4067366431
cos(7) = 0.9925461516cos(127) = -0.6018150232cos(247) = -0.3907311285
cos(8) = 0.9902680687cos(128) = -0.6156614753cos(248) = -0.3746065934
cos(9) = 0.9876883406cos(129) = -0.629320391cos(249) = -0.3583679495
cos(10) = 0.984807753cos(130) = -0.6427876097cos(250) = -0.3420201433
cos(11) = 0.9816271834cos(131) = -0.656059029cos(251) = -0.3255681545
cos(12) = 0.9781476007cos(132) = -0.6691306064cos(252) = -0.3090169944
cos(13) = 0.9743700648cos(133) = -0.6819983601cos(253) = -0.2923717047
cos(14) = 0.9702957263cos(134) = -0.6946583705cos(254) = -0.2756373558
cos(15) = 0.9659258263cos(135) = -0.7071067812cos(255) = -0.2588190451
cos(16) = 0.9612616959cos(136) = -0.7193398003cos(256) = -0.2419218956
cos(17) = 0.956304756cos(137) = -0.7313537016cos(257) = -0.2249510543
cos(18) = 0.9510565163cos(138) = -0.7431448255cos(258) = -0.2079116908
cos(19) = 0.9455185756cos(139) = -0.7547095802cos(259) = -0.1908089954
cos(20) = 0.9396926208cos(140) = -0.7660444431cos(260) = -0.1736481777
cos(21) = 0.9335804265cos(141) = -0.7771459615cos(261) = -0.156434465
cos(22) = 0.9271838546cos(142) = -0.7880107536cos(262) = -0.139173101
cos(23) = 0.9205048535cos(143) = -0.79863551cos(263) = -0.1218693434
cos(24) = 0.9135454576cos(144) = -0.8090169944cos(264) = -0.1045284633
cos(25) = 0.906307787cos(145) = -0.8191520443cos(265) = -0.08715574275
cos(26) = 0.8987940463cos(146) = -0.8290375726cos(266) = -0.06975647374
cos(27) = 0.8910065242cos(147) = -0.8386705679cos(267) = -0.05233595624
cos(28) = 0.8829475929cos(148) = -0.8480480962cos(268) = -0.0348994967
cos(29) = 0.8746197071cos(149) = -0.8571673007cos(269) = -0.01745240644
cos(30) = 0.8660254038cos(150) = -0.8660254038cos(270) = 0
cos(31) = 0.8571673007cos(151) = -0.8746197071cos(271) = 0.01745240644
cos(32) = 0.8480480962cos(152) = -0.8829475929cos(272) = 0.0348994967
cos(33) = 0.8386705679cos(153) = -0.8910065242cos(273) = 0.05233595624
cos(34) = 0.8290375726cos(154) = -0.8987940463cos(274) = 0.06975647374
cos(35) = 0.8191520443cos(155) = -0.906307787cos(275) = 0.08715574275
cos(36) = 0.8090169944cos(156) = -0.9135454576cos(276) = 0.1045284633
cos(37) = 0.79863551cos(157) = -0.9205048535cos(277) = 0.1218693434
cos(38) = 0.7880107536cos(158) = -0.9271838546cos(278) = 0.139173101
cos(39) = 0.7771459615cos(159) = -0.9335804265cos(279) = 0.156434465
cos(40) = 0.7660444431cos(160) = -0.9396926208cos(280) = 0.1736481777
cos(41) = 0.7547095802cos(161) = -0.9455185756cos(281) = 0.1908089954
cos(42) = 0.7431448255cos(162) = -0.9510565163cos(282) = 0.2079116908
cos(43) = 0.7313537016cos(163) = -0.956304756cos(283) = 0.2249510543
cos(44) = 0.7193398003cos(164) = -0.9612616959cos(284) = 0.2419218956
cos(45) = 0.7071067812cos(165) = -0.9659258263cos(285) = 0.2588190451
cos(46) = 0.6946583705cos(166) = -0.9702957263cos(286) = 0.2756373558
cos(47) = 0.6819983601cos(167) = -0.9743700648cos(287) = 0.2923717047
cos(48) = 0.6691306064cos(168) = -0.9781476007cos(288) = 0.3090169944
cos(49) = 0.656059029cos(169) = -0.9816271834cos(289) = 0.3255681545
cos(50) = 0.6427876097cos(170) = -0.984807753cos(290) = 0.3420201433
cos(51) = 0.629320391cos(171) = -0.9876883406cos(291) = 0.3583679495
cos(52) = 0.6156614753cos(172) = -0.9902680687cos(292) = 0.3746065934
cos(53) = 0.6018150232cos(173) = -0.9925461516cos(293) = 0.3907311285
cos(54) = 0.5877852523cos(174) = -0.9945218954cos(294) = 0.4067366431
cos(55) = 0.5735764364cos(175) = -0.9961946981cos(295) = 0.4226182617
cos(56) = 0.5591929035cos(176) = -0.9975640503cos(296) = 0.4383711468
cos(57) = 0.544639035cos(177) = -0.9986295348cos(297) = 0.4539904997
cos(58) = 0.5299192642cos(178) = -0.999390827cos(298) = 0.4694715628
cos(59) = 0.5150380749cos(179) = -0.9998476952cos(299) = 0.4848096202
cos(60) = 0.5cos(180) = -1cos(300) = 0.5
cos(61) = 0.4848096202cos(181) = -0.9998476952cos(301) = 0.5150380749
cos(62) = 0.4694715628cos(182) = -0.999390827cos(302) = 0.5299192642
cos(63) = 0.4539904997cos(183) = -0.9986295348cos(303) = 0.544639035
cos(64) = 0.4383711468cos(184) = -0.9975640503cos(304) = 0.5591929035
cos(65) = 0.4226182617cos(185) = -0.9961946981cos(305) = 0.5735764364
cos(66) = 0.4067366431cos(186) = -0.9945218954cos(306) = 0.5877852523
cos(67) = 0.3907311285cos(187) = -0.9925461516cos(307) = 0.6018150232
cos(68) = 0.3746065934cos(188) = -0.9902680687cos(308) = 0.6156614753
cos(69) = 0.3583679495cos(189) = -0.9876883406cos(309) = 0.629320391
cos(70) = 0.3420201433cos(190) = -0.984807753cos(310) = 0.6427876097
cos(71) = 0.3255681545cos(191) = -0.9816271834cos(311) = 0.656059029
cos(72) = 0.3090169944cos(192) = -0.9781476007cos(312) = 0.6691306064
cos(73) = 0.2923717047cos(193) = -0.9743700648cos(313) = 0.6819983601
cos(74) = 0.2756373558cos(194) = -0.9702957263cos(314) = 0.6946583705
cos(75) = 0.2588190451cos(195) = -0.9659258263cos(315) = 0.7071067812
cos(76) = 0.2419218956cos(196) = -0.9612616959cos(316) = 0.7193398003
cos(77) = 0.2249510543cos(197) = -0.956304756cos(317) = 0.7313537016
cos(78) = 0.2079116908cos(198) = -0.9510565163cos(318) = 0.7431448255
cos(79) = 0.1908089954cos(199) = -0.9455185756cos(319) = 0.7547095802
cos(80) = 0.1736481777cos(200) = -0.9396926208cos(320) = 0.7660444431
cos(81) = 0.156434465cos(201) = -0.9335804265cos(321) = 0.7771459615
cos(82) = 0.139173101cos(202) = -0.9271838546cos(322) = 0.7880107536
cos(83) = 0.1218693434cos(203) = -0.9205048535cos(323) = 0.79863551
cos(84) = 0.1045284633cos(204) = -0.9135454576cos(324) = 0.8090169944
cos(85) = 0.08715574275cos(205) = -0.906307787cos(325) = 0.8191520443
cos(86) = 0.06975647374cos(206) = -0.8987940463cos(326) = 0.8290375726
cos(87) = 0.05233595624cos(207) = -0.8910065242cos(327) = 0.8386705679
cos(88) = 0.0348994967cos(208) = -0.8829475929cos(328) = 0.8480480962
cos(89) = 0.01745240644cos(209) = -0.8746197071cos(329) = 0.8571673007
cos(90) = 0cos(210) = -0.8660254038cos(330) = 0.8660254038
cos(91) = -0.01745240644cos(211) = -0.8571673007cos(331) = 0.8746197071
cos(92) = -0.0348994967cos(212) = -0.8480480962cos(332) = 0.8829475929
cos(93) = -0.05233595624cos(213) = -0.8386705679cos(333) = 0.8910065242
cos(94) = -0.06975647374cos(214) = -0.8290375726cos(334) = 0.8987940463
cos(95) = -0.08715574275cos(215) = -0.8191520443cos(335) = 0.906307787
cos(96) = -0.1045284633cos(216) = -0.8090169944cos(336) = 0.9135454576
cos(97) = -0.1218693434cos(217) = -0.79863551cos(337) = 0.9205048535
cos(98) = -0.139173101cos(218) = -0.7880107536cos(338) = 0.9271838546
cos(99) = -0.156434465cos(219) = -0.7771459615cos(339) = 0.9335804265
cos(100) = -0.1736481777cos(220) = -0.7660444431cos(340) = 0.9396926208
cos(101) = -0.1908089954cos(221) = -0.7547095802cos(341) = 0.9455185756
cos(102) = -0.2079116908cos(222) = -0.7431448255cos(342) = 0.9510565163
cos(103) = -0.2249510543cos(223) = -0.7313537016cos(343) = 0.956304756
cos(104) = -0.2419218956cos(224) = -0.7193398003cos(344) = 0.9612616959
cos(105) = -0.2588190451cos(225) = -0.7071067812cos(345) = 0.9659258263
cos(106) = -0.2756373558cos(226) = -0.6946583705cos(346) = 0.9702957263
cos(107) = -0.2923717047cos(227) = -0.6819983601cos(347) = 0.9743700648
cos(108) = -0.3090169944cos(228) = -0.6691306064cos(348) = 0.9781476007
cos(109) = -0.3255681545cos(229) = -0.656059029cos(349) = 0.9816271834
cos(110) = -0.3420201433cos(230) = -0.6427876097cos(350) = 0.984807753
cos(111) = -0.3583679495cos(231) = -0.629320391cos(351) = 0.9876883406
cos(112) = -0.3746065934cos(232) = -0.6156614753cos(352) = 0.9902680687
cos(113) = -0.3907311285cos(233) = -0.6018150232cos(353) = 0.9925461516
cos(114) = -0.4067366431cos(234) = -0.5877852523cos(354) = 0.9945218954
cos(115) = -0.4226182617cos(235) = -0.5735764364cos(355) = 0.9961946981
cos(116) = -0.4383711468cos(236) = -0.5591929035cos(356) = 0.9975640503
cos(117) = -0.4539904997cos(237) = -0.544639035cos(357) = 0.9986295348
cos(118) = -0.4694715628cos(238) = -0.5299192642cos(358) = 0.999390827
cos(119) = -0.4848096202cos(239) = -0.5150380749cos(359) = 0.9998476952

Похожие калькуляторы

Косинус

Добавить комментарий